Teória pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť udalosti, príležitostné akcie (teórie pravdepodobnosti). Nezávislé a nezlučiteľné vývoj teórie pravdepodobnosti

Je nepravdepodobné, že mnoho ľudí si myslí, že je možné počítať udalosti, ktoré do istej miery náhodné. Povedané zjednodušene povedané, je to realistické vedieť, na ktorej strane kocky v kockách padne nabudúce. Bolo to niečo spýtať Dvaja veľkí vedci, položil základ pre túto vedu, teóriu pravdepodobnosti, pravdepodobnosť udalosti, v ktorom študoval dosť značne.

generácie

Ak sa pokúsite definovať také poňatie ako teória pravdepodobnosti, dostaneme nasledujúce: toto je jedna z vetiev matematiky, ktorá študuje stálosť náhodných udalostí. Je zrejmé, že tento koncept skutočne neodhalí podstatu, takže je potrebné ho zvážiť podrobnejšie.

Chcel by som začať s zakladateľov teórie. Ako už bolo spomenuté, boli tam dva, že Per Ferma a Blez Paskal. Oni boli prvý pokus o použití vzorcov a matematických výpočtov pre výpočet výsledok udalosti. Všeobecne platí, že základy tejto vedy je ešte v stredoveku. Kým rôzne myslitelia a vedci pokúsili analyzovať kasínové hry, ako je ruleta, kocky, a tak ďalej, čím sa vytvorí obrazec, a percentuálna strata z radu. Nadácia bola tiež prijatá v sedemnástom storočí to bolo vyššie zmienené učenci.

Spočiatku ich práce nemožno pripísať na veľké úspechy v tejto oblasti, po tom všetkom, čo urobili, boli jednoducho empirických faktov a experimenty boli jasne bez použitia vzorcov. Postupom času sa ukázalo pre dosiahnutie vynikajúcich výsledkov, ktoré sa objavili v dôsledku pozorovaní obsadení kostí. Je tento nástroj pomohol priniesť prvý zreteľný vzorec.

podporovatelia

Nehovoriac o tom, taký človek ako Christiaan Huygens, v procese študovať predmet, ktorý nesie názov "teória pravdepodobnosti" (pravdepodobnosť javu, to upozorňuje v tejto vedy). Táto osoba je veľmi zaujímavá. On, rovnako ako vedci Horeuvedené sa pokúsil vo forme matematických vzorcov odvodiť vzor náhodných udalostí. Je pozoruhodné, že nemal zdieľať s Pascal a Fermat, že je všetko jeho práca sa neprekrýva s týmito mysľou. Huygens odvodený základné pojmy teórie pravdepodobnosti.

Zaujímavým faktom je, že jeho práca prišla dlho predtým, než výsledky prác priekopníkov, aby sme boli presní, pred dvadsiatimi rokmi. Existuje len medzi pojmami identifikované boli:

• ako koncept hodnôt pravdepodobnosť náhody;
• očakávania pre jednotlivom prípade;
• vety sčítanie a násobenie pravdepodobnosťou.

Tiež nemožno zabudnúť na Yakoba Bernulli, ktorý tiež prispel k štúdiu problému. Cez ich vlastné, z ktorých ani jeden sú nezávislé testy, bol schopný preukázať zákona veľkých čísel. Na druhej strane, vedci Poisson a Laplace, ktorý pracoval na začiatku devätnásteho storočia, boli schopní preukázať pôvodnej vetu. Od tej chvíle analyzovať chyby v pozorovaní sme začali používať teóriu pravdepodobnosti. Party okolo tejto vedy nemohol a ruskí vedci, skôr Markov, Chebyshev a Dyapunov. Sú založené na pracovných urobil veľké géniovia, zaistené predmet ako odvetvie matematiky. Pracovali sme tieto údaje na konci devätnásteho storočia, a to vďaka ich prínosu, bolo preukázané javy, ako sú:

• zákon veľkých čísel;
• Teória Markovových reťazcov;
• Centrálne limitná veta.

Takže histórie narodenia vedy a s významnými osobnosťami, ktoré prispeli k tomu, všetko je viacmenej jasné. Teraz je čas, aby zhmotniť všetky fakty.

základné pojmy

Než sa dotknete zákonmi a viet by sa mali naučiť základné pojmy z teórie pravdepodobnosti. Event zaberá dominantnú úlohu. Táto téma je pomerne rozsiahla, ale nebudú schopní pochopiť celý zvyšok bez neho.

Udalosť v teórii pravdepodobnosti - to Akákoľvek sada výsledkov experimentu. Koncepty tohto javu nie je dostatok. Tak Lotman vedec pracujúci v tejto oblasti, sa vyjadril, že v tomto prípade hovoríme o tom, čo "sa stalo, hoci to nemohlo stať."

Náhodné udalosti (teória pravdepodobnosti venuje osobitnú pozornosť k nim) - je pojem, ktorý zahŕňa absolútne žiadny fenomén, ktorý má možnosť dôjsť. Alebo naopak, tento scenár nemôže dôjsť pri plnení rôznych podmienok. Je tiež dobré vedieť, že zaberajú celý objem javov len náhodné javy. Teória pravdepodobnosti naznačuje, že všetky podmienky môžu byť neustále opakuje. Je to ich správanie bolo nazvané "skúsenosť" alebo "test".

Významnou udalosťou - jedná sa o jav, ktorý je stopercentne v tomto teste sa stalo. V dôsledku toho je nemožné akcia - to je niečo, čo sa nestane.

Kombinácia dvojíc akcie (obvykle je vec a prípad B) je jav, ktorý sa vyskytuje súčasne. Sú označované ako AB.

Množstvo pary udalostí A a B - C je, inými slovami, ak je aspoň jeden z nich (A alebo B), dostanete C. vzorec opísaný jav je napísaný ako C = A + B.

Nekompatibilné vývoj teórie pravdepodobnosti vyplýva, že tieto dve veci sa navzájom vylučujú. Zároveň sú v žiadnom prípade nemôže dôjsť. Spoločné akcie v teórii pravdepodobnosti - to je ich protipólom. Z toho vyplýva, že ak A stalo, že nevylučuje C.

Oponovať udalosť (teória pravdepodobnosti ich považuje za veľmi podrobne), sú ľahko pochopiteľné. To je najlepšie, aby sa s nimi vysporiadať v porovnaní. Sú takmer rovnaké ako nekompatibilná vývoj v teórii pravdepodobnosti. Avšak, ich rozdiel je, že by malo dôjsť k niektorým z väčšieho počtu javov v každom prípade.

Rovnako pravdepodobné udalosti - tieto akcie, možnosť opakovania sa rovná. Aby bolo jasné, že môžete predstaviť hádzať mince: strata jednej z jeho strán je rovnako pravdepodobná strata druhého.

je to jednoduchšie, aby zvážila príklad zvýhodňuje udalosť. Predpokladajme, že je epizóda v epizóde A. Prvý z nich - zvitok razidlá s príchodom nepárnym číslom, a druhú - vzhľad čísla päť na kocky. Potom sa ukáže, že A je obľúbenou V.

Nezávislé javy v teórii pravdepodobnosti sa premietajú iba na dvoch alebo viacerých príležitostiach a zapojiť nezávislé na akékoľvek akcie od druhého. Napríklad, A - v prípade strát chvosty mince hádzať, a B - obdržaní konektora z paluby. Majú nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti. Od tohto okamihu bolo jasné.

Závislé udalosti v teórii pravdepodobnosti je prípustné iba pre ich set. Vyplýva z nich závislosť jedného na druhej strane, to znamená, že tento jav môže nastať iba v prípade, keď už došlo, alebo naopak, sa nestalo, keď je - hlavný podmienku pre B.

Výsledok náhodného experimentu skladajúci sa z jednej zložky - to je elementárne udalosti. Teória pravdepodobnosti hovorí, že sa jedná o jav, ktorý sa vykoná len raz.

základný vzorec

To znamená, že vyššie boli považované za pojem "akcie", "pravdepodobnosti", bol tiež uvedený definície základných pojmov tejto vedy. Teraz je čas zoznámiť sa s významnými vzorcov. Tieto prejavy sú matematicky potvrdila, všetky hlavné koncepty v takom zložitom téme ako teória pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť udalosti a hrá obrovskú úlohu.

Lepšie začať so základnými vzorkách kombinatoriky. A predtým, než ich začnete, stojí za to zvážiť, čo to je.

Kombinatorika - je v prvom rade odvetví matematiky, študuje obrovské množstvo čísel a rôznych obmien oboch čísel a ich prvky, rôzne dáta, atď, čo vedie k celej rade kombináciou ... Okrem teórie pravdepodobnosti, toto odvetvie je dôležité, aby štatistiky, informatiky a kryptografie.

Takže teraz môžete prejsť k prezentácii seba a svoje definície vzorcov.

Prvým z nich je výraz pre počet permutácií, je nasledujúci:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 1 ⋅ ⋅ = n!

Rovnica platí len v prípade, keď sú prvky sa líšia iba v poradí usporiadaní.

Teraz umiestnenia vzorec, vyzerá to, že to bude považovať za:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Tento výraz sa vzťahuje nielen na jediný prvok pokynu, ale aj svojím zložením.

Tretí rovnice kombinatorika, a je to ten druhý, tzv vzorec pre počet kombinácií:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinácia nazýva vzorkovanie, ktoré nie sú nariadené, v tomto poradí, sa a aplikovať toto pravidlo.

S formulou kombinatoriky prišiel ľahko pochopiť, teraz môžete ísť do klasickej definície pravdepodobnosti. Vyzerá to, že tento výraz takto:

P (A) = m: n.

V tomto všeobecnom vzorci m - je počet podmienok vedúcich k javu A a n - počet rovnomerne a úplne všetkých elementárnych udalostí.

Existuje mnoho výrazov v článku nebudú považované za nič, ale postihnuté budú tie najdôležitejšie, ako je napríklad pravdepodobnosť udalostí činí:

P (A + B) = P (A) + P (B), - táto veta pre pridávanie len vzájomne sa vylučujúce udalosti;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (OR) -, ale to je len pre pridávanie kompatibilné.

Pravdepodobnosť prác udalostí:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B), - táto veta pre nezávislé udalosti;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A), P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - a to pre závislé.

Končil zoznam udalostí vzorca. Teória pravdepodobnosti nám hovorí vetu Bayes, ktorý vyzerá takto:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1), n ^ P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

V tomto vzorci, H _1, H _2, ..., H _n - je kompletná sada hypotéz.

Na tejto zastávky, aplikácia vzoriek formula Teraz bude uvažovať o konkrétnych úloh z praxe.

príklady

Ak si starostlivo študovať akúkoľvek pobočku matematiky, to nie je bez cvičenia a vzorových riešení. A teórie pravdepodobnosti: udalosti, ktorých príklady sú tu neoddeliteľnou súčasťou potvrdzujúci vedecké výpočty.

Vzorec pre počet permutácií

Napríklad v balíčku kariet majú tridsať karty, počnúc od nominálneho. Ďalšia otázka. Koľko spôsobov, ako zložiť na palubu tak, že karty v nominálnej hodnote jedného a dvoch neboli nachádza hneď vedľa?

Úloha je nastavený, teraz poďme ďalej sa s ňou vyrovnať. Najprv je potrebné určiť počet permutácií tridsať prvkov, na tento účel berieme vyššie uvedeného vzorca, to dopadá P_30 = 30 !.

Na základe tohto pravidla, vieme, koľko možností existuje stanoviť na palubu v mnohých ohľadoch, ale musíme byť odpočítaná z nich sú tie, v ktorých sa prvá a druhá karta bude ďalej. K tomu, začať s variantom, keď prvý je umiestnený na druhom. Ukazuje sa, že prvý mapy môže trvať dvadsať deväť miest - od prvého do dvadsiateho deviateho a druhá karta od druhého do tridsiatich, otočí dvadsať deväť miest pre páry kariet. Na druhej strane, ostatní môžu trvať dvadsať osem miest, a v ľubovoľnom poradí. To znamená, že pre preskupenie dvadsiatich ôsmich kariet už dvadsať osem možnosti P_28 = 28!

Výsledkom je, že ak vezmeme do úvahy rozhodnutie, keď prvá karta je na druhom navyše možnosť získať 29 ⋅ 28! = 29!

Použitím rovnakej metódy, je potrebné vypočítať počet nadbytočných možností pre prípad, kedy je prvá karta umiestnená pod sekundou. Tiež získať 29 ⋅ 28! = 29!

Z toho vyplýva, že ďalšou možnosťou 2 ⋅ 29 !, Kým potrebné prostriedky zberu na palubu 30! - 2 ⋅ 29 !. Zostáva len počítať.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Teraz treba násobiť spoločne všetky čísla od jedného do dvadsiatich deviatich, a potom na konci všetkých vynásobí 28. Odpoveď získaný 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Príklady riešenia. Vzorec pre počet ubytovanie

V tomto probléme, je potrebné zistiť, koľko existujú spôsoby, ako dať pätnásť zväzkov na polici, ale pod podmienkou, že iba tridsať zväzkov.

V tejto úlohe sa rozhodnutie o niečo jednoduchšie než ten predchádzajúci. Použitie už známy vzorec, je nutné počítať celkový počet tridsiatich miestach pätnásť zväzkov.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ = 202 843 16 204 931 727 360 000

Odozva, v uvedenom poradí, sa rovná 202 843 204 931 727 360 000.

Teraz sa za úlohu trochu zložitejšie. Musíte vedieť, koľko existujú spôsoby, ako usporiadať tridsaťdva kníh na policiach, s tou podmienkou, že iba pätnásť objemy môžu byť umiestnené na rovnakej polici.

Pred začiatkom tohto rozhodnutia by chcela objasniť, že niektoré problémy možno vyriešiť niekoľkými spôsobmi, a to existujú dva spôsoby, ale je použitá ako jedna a tá istá formula.

V tejto úlohe, môžete si vziať na odpoveď od tej predchádzajúcej, pretože tam sme spočítali, koľkokrát môžete vyplniť polica na pätnásť kníh v rôznych spôsoboch. Ukázalo A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Druhý pluk vypočíta podľa vzorca preskupenie, pretože je umiestnený pätnásť knihy, zatiaľ čo zostávajúce časti pätnásť. Používame vzorec P_15 = 15 !.

Ukazuje sa, že suma bude A_30 ^ 15 ⋅ P_15 spôsobmi, ale navyše je súčin všetkých čísel od tridsať do šestnástich by násobené súčinom čísel od jednej do pätnástich, nakoniec dopadne súčin všetkých čísel od jednej do tridsiatich, že je odpoveď 30!

Ale tento problém sa dá vyriešiť iným spôsobom - jednoduchšie. Ak to chcete urobiť, môžete si predstaviť, že existuje jedna polica na tridsať kníh. Všetky z nich sú umiestnené na tejto rovine, ale preto, že podmienka vyžaduje, aby existovali dve police, jedna dlhá sme rezanie na polovicu, dve otáčky pätnásť. Z toho sa ukazuje, že pre toto usporiadanie môže byť P_30 = 30 !.

Príklady riešenia. Vzorec pre počet kombinácií

Ktorý je považovaný za variant tretieho problému kombinatoriky. Musíte vedieť, koľkými spôsobmi existujú usporiadať pätnásť kníh pod podmienkou, že si musíte vybrať z tridsiatich presne rovnaké.

Pre rozhodnutie bude samozrejme použiť vzorec pre počet kombinácií. Z predpokladu, že je jasné, že poradie rovnakých pätnásť kníh, nie je dôležité. Takže najprv je potrebné zistiť celkový počet kombinácií tridsiatich pätnásť kníh.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

To je všetko. Za použitia tohto vzorca, v čo najkratšom čase vyriešiť taký problém, odpoveď, v danom poradí, sa rovná 155,117,520.

Príklady riešenia. Klasická definícia pravdepodobnosti

Pomocou vyššie uvedeného vzorca, možno nájsť odpoveď na jednoduchú úlohu. Ale bude to jasne vidieť a sledovať priebeh akcie.

Úlohou lebo v urne existuje desať úplne identické gule. Z nich štyri žlté a šesť modrej. Prevzaté z urnové jedným loptičkou. Je nutné poznať pravdepodobnosť dostavaniya modrej.

Na vyriešenie tohto problému je potrebné menovať obdržaní modré gule na spoločenské akcie, A. Táto skúsenosť môže mať desať výsledkov, ktoré, podľa poradia, základné a rovnako pravdepodobné. V rovnakej dobe, šesť z desiatich, sú priaznivé pre udalosť A. Riešenie podľa nasledujúceho vzorca:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Ak použijeme túto formulu, sme sa dozvedeli, že možnosť dostavaniya modré guľôčky je 0,6.

Príklady riešenia. Pravdepodobnosť množstvo udalostí

Kto bude varianta, ktorá je riešená pomocou vzorca pravdepodobnosti množstvo udalostí. Takže vzhľadom k tomu, podmienka, že existujú dva prípady, prvý z nich je šedej a päť bielej gule, zatiaľ čo druhá - osem šedých a štyri bielej gule. V dôsledku toho sa prvý a druhý škatuľky vzali na jednom z nich. Je nutné zistiť, aké sú šance, že postrádali guličky sú sivé a biele.

Ak chcete tento problém vyriešiť, je potrebné určiť udalosť.

• Tak, A - máme šedú guľu prvého poľa: P (A) = 1/6.
• A '- biela žiarovka tiež odobraté z prvého poľa: P (A') = 5/6.
• The - už extrahuje sivá guľa druhého kanálu: P (B) = 2/3.
• B '- vzala šedej gule druhej zásuvky: P (B') = 1/3.

Podľa tohto problému je nutné, aby jeden z fenoménov stalo: AB, alebo 'B. Pomocou vzorca získame: P (ab,) = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Teraz bol použitý vzorec násobí pravdepodobnosť. Ďalej zistiť odpoveď, budete musieť uplatniť svoje rovnice a dodáva:

P = P (ab '+ A'B) = P (ab') + P (A'B) = 11/18.

To je, ako sa vypočíta pomocou vzorca, môžete vyriešiť tieto problémy.

výsledok

Papier bol predložený k informáciám o "teórii pravdepodobnosti", pravdepodobnosť udalostí, ktoré hrajú dôležitú úlohu. Samozrejme, bol považovaný za nie všetko, ale na základe textu predloženého môžete teoreticky zoznámiť s týmto odvetví matematiky. Považovaný veda môže byť užitočná nielen v odbornej činnosti, ale aj v každodennom živote. Môžete ju použiť na výpočet akúkoľvek možnosť udalosti.

Text bol tiež ovplyvnený významných dát v histórii vývoja teórie pravdepodobnosti ako vedy, a mená ľudí, ktorých práce boli do neho. To je, ako ľudská zvedavosť viedla k tomu, že ľudia sa naučili počítať, dokonca aj náhodné javy. Potom, čo sú len záujem o to, ale dnes je už známe všetkým. A nikto nemôže povedať, čo sa stane s nami v budúcnosti, aké ďalšie skvelé objavy vzťahujúce sa k teórii do úvahy, by sa dopustil. Ale jedna vec je istá - štúdie stále nestojí za to!