Jednoduchá iteračná metóda na riešenie systémov lineárnych rovníc (SLAE)

Metóda jednoduchej iteračnosti, nazývanej aj metóda postupnej aproximácie, je matematickým algoritmom na zistenie hodnoty neznámeho množstva postupným zjemňovaním. Podstata tejto metódy spočíva v tom, že ako to naznačuje názov, postupne sa vyvíjajúci od počiatočnej aproximácie nasledujúcich získavajú čoraz viac rafinovaných výsledkov. Táto metóda sa používa na nájdenie hodnoty premennej v danej funkcii, ako aj na riešenie systémov rovníc, lineárnych aj nelineárnych.

Zvážme, ako je táto metóda implementovaná pri riešení SLAE. Jednoduchá metóda opakovania má nasledujúci algoritmus:

1. Overenie splnenia podmienky konvergencie v pôvodnej matici. Konvergenčná veta: ak má počiatočná matica systému diagonálnu prevahu (tj v každom riadku by mali byť prvky hlavnej uhlopriečky väčšie v module ako súčet prvkov bočných uhlopriečok modulo), jednoduchá metóda iterácie je konvergentná.

2. Matrica pôvodného systému nemá vždy diagonálnu prevahu. V takýchto prípadoch môže byť systém konvertovaný. Rovnice, ktoré spĺňajú podmienky konvergencie, zostávajú nedotknuté a pri neuspokojivých vytvárajú lineárne kombinácie, t.j. Vynásobte, odčítajte, pridajte navzájom rovnice, až kým sa nedosiahne požadovaný výsledok.

Ak vo výslednom systéme existujú nepohodlné koeficienty na hlavnej uhlopriečke, potom do obidvoch častí takejto rovnice pridajte výrazy formulára s _i * xi _{, ktorého} znaky sa musia zhodovať so znakmi diagonálnych prvkov.

3. Transformácia získaného systému do normálnej formy:

X ^- = β ^- + α * x ^-

Môže sa to robiť rôznymi spôsobmi, napríklad: z prvej rovnice vyjadrite x ₁ cez iné neznáme, od druhého x ₂ , od tretieho x ₃ atď. Používame nasledovné vzorce:

A _ij = - (a _ij / a _ii)

_I = b _i / a _ii
Je opäť potrebné overiť, či výsledný systém normálnej formy zodpovedá stavu konvergencie:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, s i = 1,2, ... n

4. Začneme v skutočnosti použiť metódu postupných aproximácií.

X ^{( 0)} je počiatočná aproximácia, vyjadrujeme x ^{( 1)} cez to, potom vyjadrujeme x ^{( 2)} x ^{( t )} . Všeobecný vzorec v maticovej forme vyzerá takto:

x ^(N) = β ^- + α * x ^(n-1)

Spočítame, kým nedosiahnu požadovanú presnosť:

Max | x _i (k) -x _i (k + 1) ≤ ε

Takže v praxi analyzujeme metódu jednoduchého opakovania. príklad:
Rozhodnite SLAU:

4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 s presnosťou ε = 10 ^-3

Pozrime sa, či diagonálne prvky prevažujú v module.

Vidíme, že iba tretia rovnica spĺňa podmienku konvergencie. Prvá a druhá transformujeme, do prvej rovnice pridávame druhú:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3

Z tretieho odčítame prvý:

-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2

Premenili sme pôvodný systém na ekvivalentný systém:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4

Teraz prinášame systém do normálnej podoby:

X1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
X2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
X3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Kontrolujeme konvergenciu iteračného procesu:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 <1
0,383 + 0,5319 = 0,9149 <1, t.j. Podmienka je splnená.

0,3947
Počiatočná aproximácia x ^{( 0)} = 0.4762
0,8511

Nahradíme tieto hodnoty do rovnice normálnej formy, získavame tieto hodnoty:

0,08835
X ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Nahradením nových hodnôt získame:

0.215243
X ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Pokračujte v výpočtoch až do momentu, keď sa priblížime hodnotám, ktoré spĺňajú danú podmienku.

0,18813

X ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

X ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Skontrolujte správnosť výsledkov:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Výsledky získané nahradením hodnôt nájdených v počiatočných rovniciach úplne spĺňajú podmienky rovnice.

Ako vidíme, jednoduchá metóda iterácie prináša pomerne presné výsledky, ale na vyriešenie tejto rovnice sme museli stráviť veľa času a robiť veľa ťažkopádnych výpočtov.