Pravidelné polyhedra: Prvky symetria a area

Geometria je krásny, pretože, na rozdiel od algebry, čo nie je vždy jasné, prečo a čo si myslíte, poskytuje vizuálne objekt. Tento nádherný svet rôznych orgánov zdobia pravidelné polyhedra.

Všeobecné informácie o pravidelných mnohostenov

Podľa mnohých, pravidelných mnohostenov, alebo ako sa nazývajú platonické pevné látky, majú jedinečné vlastnosti. S týmito objektmi spojené niekoľko vedeckých hypotéz. Keď začnete študovať geometrická dáta v tele, si uvedomiť, že takmer nič o také koncepcie, ako pravidelné polyhedra vedieť. Prezentácia týchto objektov v škole nie je vždy zaujímavé, takže mnohí si ani nepamätám, čo sa im hovorilo. V pamäti väčšiny ľudí je to len kocky. Žiadny z geometrie telesa nemá také dokonalosti ako pravidelných mnohostenov. Všetky názvy týchto geometrických telies pochádza zo starovekého Grécka. Tie predstavujú počet tvárí: štvorsten - štvorstranné, šesťstena - šesťhranný octahedron - osemuholníka, dvanásťsten - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Všetky tieto geometrické teleso zaujíma významné miesto v Platónovej poňatí vesmíre. Štyri z nich sú obsiahnuté prvky či entity: tetraedronové - oheň, icosahedron - Vodné kocka - zemín, octahedron - vzduch. Dodecahedron stelesňuje všetko. On bol považovaný za hlavnú, ako symbol vesmíru.

Zovšeobecnenie pojmu mnohostena

Mnohosten je konečná kolekcia mnohouholníkov taká, že:

• každá zo strán ktoréhokoľvek z polygónov je súčasne len jedna strana z iného polygónu na rovnakej strane;
• od každého z mnohouholníkov sa môžete prejsť na druhú tým, že prejde v susedstve k nemu polygónov.

Polygóny tvoriaci Polyhedron predstavujú jeho tváre a ich bočné - rebrá. mnohosten vrcholy sú vrcholy polygónov. V prípade, že termín polygón rozumieť ploché uzavretej lomené čiary, potom sa na jednu definíciu mnohostena. V prípade, že týmto termínom sa mieni časť rovine, ktorá je ohraničená prerušovanou čiarou, je zrejmé, povrch sa skladá z polygonálnych kusov. Konvexné mnohosten sa nazýva telo ležiace na jednej strane roviny, priliehajúce k jeho povrchov.

Ďalšie definície mnohosten a jeho prvkov

Polyhedron tzv povrch skladajúci sa z polygónov, ktorý obmedzuje geometrického telesa. Sú to:

• non-konvexné;
• konvexné (správne a čo zlé).

Pravidelný mnohosten - je konvexný mnohosten s maximálnym symetria. Prvky pravidelných mnohostenov:

• Tetrahedron: 6 rebrá 4 tváre 5 vrcholy;
• šesťhrany (kocka) 12, 6, 8;
• dvanásťsten 30, 12, 20;
• osemsten 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Eulerova veta

Stanovuje vzťah medzi počtom hrán, vrcholov a tváre sú topologicky ekvivalentné gule. Pridanie počet vrcholov a tváre (B + D) majú rozdielne pravidelné polyhedra a ich porovnanie s počtom rebier, je možné nastaviť jedno pravidlo: súčet počtu plôch, ktorý sa rovná počtu vrcholov a hrán (P) o 2. Je možné odvodiť jednoduchý vzorec:

• B + D = P + 2.

Táto rovnica platí pre všetky konvexné polyhedra.

základné definície

Koncept pravidelného mnohostena je nemožné opísať v jednej vete. To je viac cenený a objem. Telo byť rozpoznaný ako taký, to je potrebné, aby spĺňali niektoré definície. Tak, geometrický telo bude pravidelný mnohosten, ak sú splnené tieto podmienky:

• je konvexné;
• rovnaký počet rebier konverguje na každom zo svojich vrcholov;
• všetky aspekty jeho - pravidelné mnohouholníky, rovnajúcu sa navzájom;
• Všetky dihedral uhly sú si rovné.

Vlastnosti pravidelných mnohostenov

K dispozícii je 5 rôznych typov pravidelných mnohostenov:

1. Kocky (šesťhrany) - má plochý vrcholový uhol je 90 °. Má 3-stranné uhol. Vyššie tvár uhly u špice 270 °.
2. Štvorsten - plochý vrcholový uhol - 60 °. Má 3-stranné uhol. Vyššie tvár uhly na vrchole - 180 °.
3. Oktaéder - plochý vrcholový uhol - 60 °. Má štyri obojstranný uhol. Vyššie tvár uhly na vrchole - 240 °.
4. Dodecahedron - plochý vrcholový uhol 108 °. Má 3-stranné uhol. Vyššie tvár uhly na vrchole - 324 ° C.
5. Dvadsaťsten - má plochý vrcholový uhol - 60 °. To má z piatich strán uhol. Vyššie tvár uhly u špice 300 °.

Oblasť pravidelného polyhedra

Povrchová plocha geometrických telies (S) sa vypočíta ako bežný mnohouholníkové plochy vynásobené počtom plôšok (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG n / s.

Objem pravidelného mnohostena

Táto hodnota sa vypočíta vynásobením objemu pravidelného ihlanu, ktorého základom je pravidelný mnohouholník, počet plôch, a jej výška je vpísaný polomer gule (r):

• V = 1: 3RS.

Objemy pravidelných mnohostenov

Rovnako ako akékoľvek iné geometrické pevných pravidelných mnohostenov majú rôzne zväzky. Nižšie sú formuly, ktoré im umožnia vypočítať:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• oktaéder: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• šesťhrany (kocky): alfa x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dvanásťsten: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Prvky pravidelných mnohostenov

Šesťhrany a octahedron predstavujú dvojité geometrické tela. Inými slovami, môžu dostať von zo seba v prípade, že ťažisko jedného je braný ako hornej strane druhej, a naopak. Tiež sú dual icosahedron a dodecahedron. Sám len štvorsten je duálny. Podľa spôsobu Euclid môžu byť získané z dodecahedron šesťstena vytvorením "strechy" na tvárach kocky. Vrcholy štvorstena sú všetky 4 vrcholy kocky, ktorý nesusedí pary pozdĺž okraja. Z šesťhrany (kocka) možno získať, a ďalšie pravidelné polyhedra. Napriek tomu, že pravidelné mnohouholníky existuje nespočetné množstvo, pravidelné polyhedra, tam sú len 5.

Polomery pravidelné mnohouholníky

S každou z týchto geometrických telies sú spojené sústredné gule 3:

• popísané prechádzajúce vrcholy;
• vpísaný o každej zo svojich strán v jej strede;
• Medián o všetky hrany v stredu.

Polomer gule je popísaný nasledujúcim vzorcom sa vypočíta takto:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Polomer vpísanej gule sa vypočíta nasledujúcim spôsobom:

• R = A: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

kde θ - uhol vzopätia, ktorý je medzi susednými plôšok.

Stredná polomer gule sa môže vypočítať podľa nasledujúceho vzorca:

• ρ = cos n / p: 2 sin π / h,

kde h = veľkosť 4,6, 6,10, alebo 10. Pomer polomerov, že vpísaný, popísané a symetricky vzhľadom k p a q. To sa vypočíta takto:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

symetria mnohostenov

Symetria pravidelných mnohostenov je primárneho záujme týchto geometrických telies. Je chápaný ako pohyb tela v priestore, ktorý ponecháva rovnaký počet vrcholov, tváre a hrán. Inými slovami, pod vplyvom symetria premenách okraj, vrchol, alebo tvár zachováva svoj pôvodnej polohy, alebo sa presunie do základnej polohy ďalšie rebrá, ostatné vrcholy alebo plôch.

Prvky súmernosti pravidelných mnohostenov sú spoločné pre všetky typy geometrických telies. Tu je vedená na transformáciu identity, čo necháva niektorý z bodov do pôvodnej polohy. Takže, keď zapnete polygonálne hranol môže získať nejaké symetria. Ktorýkoľvek z nich môže byť reprezentovaný ako súčin odrazu. Symetria, ktorá je produktom párnym počtom odrazov, zvanej priame. Pokiaľ sa jedná o výrobok z nepárneho počtu odrazov, potom sa nazýva spätná väzba. Tak, všetky obraty okolo línie priamu symetriu. Akákoľvek úvaha mnohosten - je inverzný symetria.

Aby bolo možné lepšie porozumieť symetria prvky pravidelných mnohostenov, môžete si vziať príklad z štvorstena. Každá linka, ktorá bude prechádzať jedným z vrcholov a stredom geometrického tvaru, sa bude konať, a stredom hrany oproti nej. Každý zo závitov 120 a 240 ° okolo riadku patrí do množnom štvorboká symetria. Vzhľadom k tomu, 4 vrcholy a tváre, dostaneme celkom osem priamych symetriou. Každý z riadkov prechádzajúcich stredom okrajov a stredu tela, prechádza stredom protiľahlé hrany. Každá rotácia o 180 °, s názvom o pol otáčky okolo priame symetria. Vzhľadom k tomu, štvorsten má tri páry rebier, dostanete tri riadky symetria. Na základe uvedeného možno konštatovať, že celkový počet priamych symetria a vrátane transformácie identity, bude až dvanásť. Iný priamy symetria štvorsten neexistuje, ale má 12 inverzný symetriu. V dôsledku toho, iba 24, vyznačujúci sa štvorsten symetria. Pre názornosť môžeme postaviť model pravidelného štvorstena z kartónu a skontrolujte, či sa jedná o geometrické teleso má v skutočnosti len 24 symetrie.

Dodecahedron a icosahedron - najbližšie k povrchu tela. Icosahedron má najväčší počet plôch, na uhol vzopätia a zo všetkého najviac je pevne lipnú na vpísanej gule. Dodecahedron má najnižšiu uhlový defekt najväčší pevný uhol na vrchole. To môže maximalizovať vyplniť opísanej gule.

skenovanie polyhedra

Pravidelné kontroly polyhedra, ktorú všetci zlepené v detstve, majú veľa konceptov. Ak je sada polygónov, každá strana, ktorá bola identifikovaná iba s jednou stranou mnohostena, identifikácia strán musí spĺňať dve podmienky:

• každého polygónu, môžete prejsť na polygóne, ktorý má identifikáciu strane;
• identifikovateľné strana by mala mať rovnakú dĺžku.

Jedná sa o sadu mnohouholníky, ktoré spĺňajú tieto podmienky, a je nazývaný mnohosten skenovanie. Každý z týchto subjektov má niekoľko z nich. Napríklad, kocky, z ktorých je 11 kusov.