Vypuklého mnohouholníka. Definícia konvexný polygón. Uhlopriečok konvexného polygónu

Tieto geometrické tvary sú všade okolo nás. Vypuklého mnohouholníka sú prírodné, ako je napríklad včelieho plástu alebo umelé (umelých). Tieto údaje sa používajú pri výrobe rôznych typov povlakov v umení, architektúra, ozdoby, atď. Vypuklého mnohouholníka majú tú vlastnosť, že ich body ležia na jednej strane priamky, ktorá prechádza dvojica susedných vrcholov geometrického obrazca. Existujú aj iné definície. To sa nazýva konvexný polygón, ktorý je usporiadaný v jednej polrovine vzhľadom k akejkoľvek priamej línii, ktorý obsahuje jednu z jeho strán.

vypuklého mnohouholníka

V priebehu elementárnej geometrie sú vždy zaobchádzať veľmi jednoduché polygóny. Pochopiť vlastnosti geometrických tvarov , ktoré je potrebné pochopiť ich podstatu. Ak chcete začať chápať, že uzavretý je nejaká linka, ktorej konce sú rovnaké. A postava vytvorená jej, môže mať niekoľko konfigurácií. Polygon sa nazýva jednoduchú uzavretú krivku, ktorej susedné jednotky nie sú umiestnené na jednej priamke. Jeho spojenie a uzly sú, v uvedenom poradí, boky a vršky geometrického obrazca. Jednoduchá krivka sa nesmie pretínať samo.

vrcholy mnohouholníka sa nazývajú susedmi, v prípade, že sú konce jednej zo svojich strán. Geometrický obrazec, ktorý má n-tý počet vrcholov, a tým i n-tý počet strán nazýva n-gon. Sama o sebe prerušovaná čiara je hranica alebo obrys geometrického útvaru. Polygonálna lietadlo alebo ploché mnohouholník nazýva záverečnú časť všetky lietadlá, ich obmedzená. Priľahlé strany geometrického obrazca, zvané segmenty krivky pochádzajúce z rovnakého vrcholu. Nebudú susedia, ak sú založené na rôznych vrcholov polygónu.

Ďalšie definície konvexných polygónov

Na základnej geometriu, existuje niekoľko ekvivalentné definície významu, čo ukazuje to, čo sa nazýva konvexný polygón. Navyše všetky tieto výroky sú rovnako pravdivé. Konvexný polygón je ten, ktorý má:

• každý segment, ktorý sa pripája akékoľvek dva body v ňom leží úplne v ňom;

• v nej ležia všetky diagonály;

• akákoľvek Vnútorné uhol nie väčší ako 180 °.

Polygon vždy rozdeľuje rovinu na dve časti. Jeden z nich - obmedzená (môže byť uzavretý do kruhu), a druhá - neobmedzená. Prvý sa nazýva vnútorná oblasť, a druhý - vonkajšia plocha geometrického útvaru. To je križovatka polygónu (inými slovami - celková zložka) niekoľko polovičných rovín. Tak, každý segment má konca v bodoch, ktoré patria do polygónu úplne patrí k nemu.

Odrody konvexných polygónov

Definícia konvexný polygón neznamená, že existuje veľa druhov z nich. A každý z nich má určité kritériá. To znamená, že konvexný mnohouholníky, ktoré majú vnútorný uhol 180 °, uvedené mierne konvexné. Konvexné geometrického obrazca, ktorý má tri vrcholy, sa nazýva trojuholník, štyri - štvoruholník, päť - päťuholník, atď Každý konvexné n-gons spĺňa nasledujúce dôležité požiadavky: .. N musí byť rovná alebo väčšia ako 3. Každá z týchto trojuholníkov je konvexný. Geometrická postava tohto typu, v ktorom sú všetky vrcholy ležia na kružnici, sa nazýva vpísanou kružnici. Popísaný konvexný polygón je spustená, ak všetky jej strany okolo kruhu sa jej dotknúť. Dva polygóny sa nazývajú rovnať iba v prípade, že pri použití prekrytia možné kombinovať. Ploché polygón tzv polygonálne rovina (rovina časť), ktorý tejto obmedzenej geometrický obrazec.

Pravidelného vypuklého mnohouholníka

Pravidelné mnohouholníky s názvom geometrické obrazce s rovnakými uhlami a po stranách. V nich existuje bod 0, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od každého zo svojich vrcholov. To je nazývané centrom geometrického obrazca. Linky spájajúcej centrum s vrcholov geometrického obrazca, zvané apothem, a tie, ktoré spájajú bod 0 so stranami - polomery.

Správna obdĺžnik - štvorec. Rovnostranný trojuholník sa nazýva rovnostranný. U týchto tvarov je toto pravidlo: každý konvexný uhol polygón je 180 ° * (n-2) / N,

pričom n - počet vrcholov konvexného geometrického útvaru.

Plocha žiadneho pravidelného mnohouholníka je daná vzorcom:

S = P * h,

kde p sa rovná polovici súčtu všetkých strán mnohouholníka, a h je dĺžka apothem.

Vlastnosti vypuklého mnohouholníka

Vypuklého mnohouholníka majú určité vlastnosti. To znamená, že časť, ktorá spája akékoľvek dva body geometrický obrazec, nutne sa v ňom nachádzajú. dôkaz:

Predpokladajme, že P - konvexné mnohouholník. Vezmite dva ľubovoľné body, napríklad A a B, ktoré patria do P. Podľa súčasnej definície konvexný polygón, tieto body sú umiestnené na jednej strane priamky, ktorá obsahuje ľubovoľnom smere R. V dôsledku toho, AB má rovnako túto vlastnosť a je obsiahnutý v R. A konvexný polygón vždy môže byť rozdelená do niekoľkých trojuholníkov úplne všetky uhlopriečky, ktorá sa konala jeden zo svojich vrcholov.

Uholníky konvexné geometrické tvary

Uhly konvexný polygón - sú uhly, ktoré sú tvorené stranami. Vnútorné rohy sú vo vnútornej oblasti geometrického obrazca. Uhol, ktorý je vytvorený po stranách, ktoré sa zbiehajú vo vrchole, tzv uhol konvexného polygónu. Rohy priľahlých vnútorných rohoch geometrického obrazca, zvanej externé. Každý roh konvexné mnohouholník, usporiadaný vnútri, je:

180 ° - x

kde x - hodnota vonkajšieho rohu. Tento jednoduchý vzorec je použiteľný pre akýkoľvek typ geometrických tvarov takých.

Všeobecne platí, že pre vonkajšie rohy existujú nasledujúce pravidlá: každý konvexný polygón uhol rovnajúci sa rozdielu medzi 180 ° a hodnotou vnútorného uhla. To môže mať hodnotu v rozmedzí od -180 ° C do 180 °. V dôsledku toho, keď je vnútorný uhol je 120 °, vzhľad bude mať hodnotu 60 °.

Súčet uhlov konvexných polygónov

Súčet vnútorných uhlov konvexným polygónu sa stanoví podľa vzorca:

180 ° * (n-2),

pričom n - počet vrcholov n-gon.

Súčet uhlov konvexného polygónu sa vypočíta jednoducho. Zoberme si žiadny takýto geometrický tvar. Ak chcete zistiť súčet uhlov v konvexnom polygóne je potrebné pripojiť jeden zo svojich vrcholov s ostatnými vrcholmi. V dôsledku tohto opatrenia sa zmení (n-2) trojuholníka. Je známe, že súčet uhlov každom trojuholníka je vždy 180 °. Vzhľadom k tomu, ich počet v každom polygónu rovná (n-2), pričom súčet vnútorných uhlov na obrázku je 180 ° x (n-2).

Suma konvexný polygón rohy, a to dvoma susednými vnútorné a vonkajšie uhly na ne, v tomto konvexného geometrického útvaru bude vždy rovný 180 °. Na tomto základe môžeme určiť súčet všetkých jej rohov:

180 x n.

Súčet vnútorných uhlov je 180 ° * (n-2). V súlade s tým, súčet všetkých vonkajších rohov na obrázku stanovené podľa vzorca:

180 ° * N-180 ° - (N-2) = 360 °.

Súčet vonkajších uhlov akéhokoľvek konvexné polygónu bude vždy rovná 360 ° C (bez ohľadu na počet jeho strán).

Vonkajší roh konvexný polygón sú všeobecne predstavuje rozdiel medzi 180 ° a hodnotou vnútorného uhla.

Ďalšie vlastnosti konvexný polygón

Okrem základných vlastností geometrických obrazcov dát, majú tiež ďalšie, ktoré sa vyskytujú pri manipulácii s nimi. Preto každá polygónov môžu byť rozdelené do viacerých konvexného n-gons. K tomu, aby aj naďalej každej zo svojich strán a znížiť geometrický tvar pozdĺž týchto priamkach. Rozdeliť ľubovoľnú polygón na niekoľko konvexných častí je možné, a tak, aby horná časť každej z častí sa zhodujú so všetkými jeho vrcholov. Z geometrického obrazca môžu byť veľmi jednoduché, aby sa trojuholníky cez všetky uhlopriečok od jedného vrcholu. Preto každá polygón, v konečnom dôsledku, môže byť rozdelená do určitého počtu trojuholníkov, čo je veľmi užitočná pri riešení rôznych úloh súvisiacich s takýmito geometrickými tvarmi.

Obvod konvexný polygón

Segmenty krivky, polygón zvanej strany, často označené týmito písmenami: AB, BC, CD, DE, ea. Táto strana je geometrický obrazec s vrcholmi A, B, C, D, E. Súčet dĺžok strán konvexný polygón je volaný jeho obvode.

obvod polygónu

Vypuklého mnohouholníka môžu byť zapísané a popísané. Circle tangenta ku všetkým stranám geometrického obrazca, nazvaný vpísaný do neho. Tento polygón je volaný popísaný. V stredu kruhu, ktorý je vpísaný do mnohouholníka je priesečníkom priamok uhlov v danom geometrickým tvarom. Plocha polygónu sa rovná:

S = P * r,

kde R - polomer vpísanej kružnice a p - semiperimeter tohto mnohouholníka.

Kruh obsahujúci polygón vrcholy, tzv popísané v jeho blízkosti. Okrem toho, tento konvexné geometrický obrazec názvom vpísaný. Stred kruhu, ktorý je opísaný o takomto polygón je takzvaný priesečník midperpendiculars všetky strany.

Diagonálne konvexné geometrické tvary

Uhlopriečok konvexný polygón - segmentu, ktorý spája nie je susednými vrcholy. Každý z nich je vo vnútri tohto geometrického obrazca. Počet uhlopriečok n-gon je nastavený podľa vzorca:

N = n (n - 3) / 2.

Počet uhlopriečok konvexného polygónu hrá dôležitú úlohu v elementárnej geometrie. Počet trojuholníkov (K), ktorý sa môže rozbiť každý konvexný mnohouholník, vypočíta podľa nasledovného vzorca:

K = n - 2.

Počet uhlopriečok konvexný polygón je vždy závislá na počte vrcholov.

Rozdelenie konvexný polygón

V niektorých prípadoch riešiť geometrie úlohy potrebné prerušiť vypuklý mnohouholník do niekoľkých trojuholníkov s non-pretínajúcimi sa uhlopriečkami. Tento problém môže byť vyriešený tým, že sa odstráni istý vzorec.

Definovanie problému: volanie správny druh rozdelenie konvexný n-gon do niekoľkých trojuholníky uhlopriečok, ktoré sa pretínajú len na vrcholoch geometrického útvaru.

Riešenie: Predpokladajme, že P1, P2, P3, ..., Pn - horná časť n-gon. Počet Xn - počet svojich oddielov. Starostlivo zvážiť výsledný uhlopriečka geometrické obrázok Pi PN. V každom z pravidelných oddielov P1 Pn patrí k určitej trojuholníku P1 Pi Pn, kde 1

Nech i = 2 je skupina pravidelných oddielov, vždy s diagonálne P2 Pn. Počet oddielov, ktoré sú v nej zahrnutá, sa rovná počtu oddielov (n-1) Gon P2 P3 P4 ... PN. Inými slovami, je rovná Xn-1.

Pokiaľ i = 3, potom druhá skupina oddiely budú vždy obsahovať diagonálne P3 P1 a P3 PN. Počet správnych oddiely, ktoré sú obsiahnuté v skupine, bude zhodovať s počtom oddielov (n-2) gon P3, P4, ... Pn. Inými slovami, bude Xn-2.

Nech i = 4, potom trojuholníky medzi správny oddiel je viazaný na obsahovať trojuholníka P1 Pn P4, ktorý bude susediť s štvoruholník P1 P2 P3 P4, (n-3) gon P5 P4 ... Pn. Počet správnych oddielov, ako štvoruholník sa rovná X4, a počet prepážok (n-3) sa rovná gon Xn-3. Na základe vyššie uvedeného možno povedať, že celkový počet pravidelných oddiely, ktoré sú obsiahnuté v tejto skupine sa rovná Xn-3 X4. Iné skupiny, v ktorých i = 4, 5, 6, 7 ... bude obsahovať 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 pravidelné priečky.

Nech i = n-2, počet správnych oddielov v danej skupine sa bude zhodovať s počtom oddielov v skupine, v ktorej i = 2 (inými slovami, rovná Xn-1).

Vzhľadom k tomu, X 1 = X 2 = 0, X 3 = 1 a X4 = 2, ..., počet priečok konvexný polygón je:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, Xn-X4 X5 + + 4 ... + X + 5 4 xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-xn-1.

príklad:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 X5 + + + X4 X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 X5 + + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 X5 * + * X4 X5 + X6 + X7 = 132

Počet správnych oddielov sa pretínajú v jednom diagonálne

Pri kontrole jednotlivých prípadov, možno predpokladať, že počet uhlopriečok konvexného n-gon je rovná súčinu všetkých oddielov tohto grafu vzoru (n-3).

Dôkazom tohto predpokladu: predpokladajme, že P1N = Xn * (n-3), potom každé n-gon môže byť rozdelený do (n-2) je trojuholník. V tomto prípade jeden z nich môže byť stohované (n-3) -chetyrehugolnik. V rovnakej dobe, každý štvoruholník je diagonálne. Od tohto konvexného geometrického útvaru dve diagonály sa môže vykonávať, čo znamená, že v žiadnej (n-3) -chetyrehugolnikah môžu vykonávať ďalšie diagonálny (n-3). Na tomto základe môžeme konštatovať, že v každom správnom oddiel má možnosť (n-3) -diagonali spĺňa požiadavky tejto úlohy.

Oblasť vypuklého mnohouholníka

Často pri riešení rôznych problémov elementárnej geometrie je potrebné určiť oblasť konvexný polygón. Predpokladajme, že (XI. Yi), i = 1,2,3 ... n predstavuje postupnosť súradníc všetkých susedných vrcholov mnohouholníka, s nedochádza k samovoľnému križovatky. V tomto prípade je jeho plocha je vypočítaná podľa tohto vzorca:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} y _i + _1)),

v ktorom (X _1, Y _{1) = (X n + 1, Y} n + _1).