Geometrickým radom a jej vlastnosti

Geometrická progresie je dôležité v matematike ako vedy a aplikovanej význam, pretože má veľmi široký záber, a to aj vo vyššej matematiky, napríklad v teórii série. Prvé informácie o pokroku k nám prišiel zo starovekého Egypta, a to najmä v podobe známeho problému Rhind papyrusu sedem osôb so siedmimi mačkami. Variácie tejto úlohy boli opakovať mnohokrát v rôznych časoch od iných národov. Dokonca aj Velikiy Leonardo Pizansky, známy ako Fibonacci (XIII c.), Prehovoril k nej vo svojej "knihe Abacus."

Takže geometrická progresie má starobylú históriu. To predstavuje číselnú sekvenciu s nenulovú prvého člena, a každý ďalší, počnúc druhým je určený vynásobením predchádzajúcej opakovanie vzorec na konštantnej nenulovej číslo, ktoré sa nazýva menovateľ progresie (obvykle označený pomocou list q).
Je zrejmé, že možno nájsť delením každé ďalšie funkčné sekvencie na predchádzajúcu, tj. Z 2: z 1 = ... = Zn: z n-1 = .... V dôsledku toho, pre väčšinu pracovných progresie (Zn) dostatočne, že pozná hodnotu prvého funkčného menovateľa a y 1 q.

Predpokladajme napríklad, z 1 = 7, q = - 4 (q <0), potom nasledujúci geometrická sa získa 7 - 28, 112 - 448, .... Ako môžete vidieť, výsledná postupnosť nie je monotónne.

Pripomeňme, že ľubovoľná sekvencia monotónna (zvyšovanie / znižovanie), keď jeden z jeho členov sledovať väčší / menší než predchádzajúci. Napríklad, sekvencia 2, 5, 9, ..., a -10, -100, -1000, ... - Monotónna, druhá - klesajúci geometrická.

V prípade, že q = 1 sa nachádzajú, všetci členovia byť, a to sa nazýva konštantný priebeh.

Sekvencia bola progresia tohto typu, musí spĺňať nasledovné nutné a postačujúcou podmienkou, a to: od druhého, každý z jeho členov by mala byť geometrický priemer susedných členov.

Táto vlastnosť umožňuje za určitých dve susedné nález ľubovoľný termín progresie.

n-tý termín exponenciálne ľahko nájsť vzorcom: Zn = z * 1 Q ^ (n-1), z vedomím, prvý člen 1 a menovateľ q.

Vzhľadom k tomu, poradové číslo má súčet, potom sa niekoľko jednoduchých výpočtov nám vzorec pre výpočet súčtu prvej progresie členov, a to:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

Výmena, vo vzorci jeho expresie hodnota Zn z 1 * q ^ (n-1), aby sa získala druhá sumárny vzorec progresie: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Je hoden pozornosti nasledujúce zaujímavý fakt: hlina tabliet nájdený v vykopávky starovekého Babylonu, ktorý sa odvoláva na VI. BC, obsahuje pozoruhodným spôsobom súčet 1 + 2 + ... + 22 + 29 sa rovná 2 až desiateho mínus napájania 1. vysvetlenie tohto javu doteraz nebol nájdený.

Poznamenávame, jedna z vlastností geometrickým radom - konštantné prácu svojich členov, ktoré sú umiestnené v rovnakých vzdialenostiach od koncov sekvencie.

Osobitný význam z vedeckého hľadiska, také ako nekonečný geometrickým radom a výpočtu jej výšku. Za predpokladu, že (yn) - geometrickým radom, ktorá má menovateľ q, spĺňajúci podmienku | q | <1, jeho množstvo sa označuje hranicu, ku ktorej už poznáme súčet prvých členov, s neobmedzené zvýšenie n, potom sa na neho blíži nekonečnu.

Nájsť túto sumu v dôsledku použitia vzorca:

S n = y 1 / (1-q).

A ako ukázali skúsenosti, pre zdanlivú jednoduchosť tohto postupu sa skrýva obrovský aplikačné potenciál. Napríklad, ak sa postaviť sekvenciu štvorcov podľa nasledujúceho algoritmu, spájajúcej stredy na predchádzajúcu, potom tvoria štvorcový nekonečnú geometrickou majúce menovateľa 1/2. Rovnaký postup tvar a plocha trojuholníky, získané v každej fáze výstavby a jej súčet je rovný oblasti základného poľa.