Iracionálne čísla: čo to je a čo sú používané?

Čo je to iracionálne číslo? Prečo sa im hovorí? Tam, kde sa používajú a čo predstavuje? Málo môže bez váhania odpovedať na tieto otázky. Ale v skutočnosti, že odpovede sú veľmi jednoduché, aj keď nie všetci sú nevyhnutné a vo veľmi zriedkavých prípadoch,

Podstata a určenie

Iracionálne čísla sú nekonečné neperiodických desatinné miesta. Potreba zaviesť tento pojem vyplýva zo skutočnosti, že aby bolo možné riešiť novo sa objavujúce výzvy, bola nedostatočná skôr existujúce koncepty skutočných či reálnych, celých, prirodzených a racionálnych čísel. Napríklad, aby bolo možné vypočítať efektívna hodnota je 2, je nutné použiť neperiodický nekonečný desatinný zlomok. Okrem toho veľa jednoduchých rovníc tiež nemajú riešenie bez zavedenia pojmu iracionálnych čísel.

Táto sada sa označí ako I. A, ako sa ukázalo, tieto hodnoty nemôžu byť reprezentovaný ako jednoduchý frakcie, čitateľ, ktorá je celá, a menovateľ - prirodzené číslo.

Prvýkrát sa tak či onak s týmto fenoménom čelia indických matematikov v VII storočí pred naším letopočtom, keď sa zistilo, že odmocnina z určitého množstva nemožno jednoznačne identifikovať. Prvý dôkaz o existencii týchto čísel je pripočítaný Pytagorovej Hippasus, ktorý ho podal, v štúdii rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Vážnym príspevok k štúdiu tohto súboru priniesli aj niektoré vedcov, ktorí žili pred naším letopočtom. Zavedenie koncepcie iracionálne čísla viedla k revízii súčasných matematický systém, ktorý je dôvod, prečo sú tak dôležité.

pôvod mena

V prípade, že pomer v latinčine - je "shot", "postoj", predpona "ir"
pripojený k slovu opaku. To znamená, že názov súboru týchto čísel znamená, že nemôžu byť korelované na celé číslo alebo zlomok, posaďte sa. To vyplýva z ich povahy.

Miesto v celkovej klasifikácii

Iracionálne čísla, spolu s racionálne označuje skupinu skutočné alebo virtuálne, čo patrí ku komplexu. Podmnožiny však rozlišovať medzi algebraický a transcendentný druhu, ktoré budú popísané nižšie.

vlastnosti

Vzhľadom k tomu, iracionálne čísla - je to súčasť sady skutočné, potom sa na ne vzťahujú na všetky ich vlastnosti, ktoré sú študované v aritmetike (tiež volal základné algebraické zákony).

a + b = b + a (commutativity);

(A + b) + c = a + (b + c) (asociatívne);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (existencie prísada inverzné);

ab = ba (komutatívna zákon);

(Ab), c = a (Bc) (Distributivity);

a (b + c) = ab + ac (distribučný právo);

ax 1 = a

ax 1 / a = 1 (inverzný počet existencie);

Porovnanie je tiež v súlade so všeobecnými právnymi predpismi a princípy:

Je-li> b a b> c, potom sa> c (tranzitívnosti pomer) a. t. d.

Samozrejme, že všetky iracionálne čísla môžu byť prevedené za použitia základné aritmetické operácie. Osobitných pravidiel, ktorá v tomto.

Okrem toho, iracionálne čísla sa vzťahuje Archimedes axióma. Uvádza, že za žiadnych dvoch hodnôt A a B je pravda, že tým, že termín ako dostatočný počet opakovaní, je možné poraziť b.

použitie

Napriek tomu, že v reálnom živote nemajú často sa s nimi vysporiadať, iracionálne čísla nedávajú účet. Sú veľmi veľa, ale sú prakticky neviditeľné. Sme obklopení iracionálnych čísel. Príklady, známe všetkým, - počet pí, rovnajúci sa 3.1415926 ... alebo e, je v podstate základ prirodzeného logaritmu, 2.718281828 ... algebry, trigonometria a geometria je používať trvalo. Mimochodom, známy hodnota "zlatého rezu", teda pomer, koľko z vysokého na nízky a naopak, a To sa vzťahuje k tejto sade. Menej známa "strieborná" - taky.

Na číselnej osi, sú si veľmi blízke, takže medzi dvoma ľubovoľnými množstvo, na ktoré sa vzťahuje sadou racionálne, iracionálne nutne dôjsť.

Až doteraz existuje mnoho nevyriešených otázok týkajúcich sa tejto sady. Existujú kritériá, ako iracionality opatrení a normality čísla. Matematici naďalej skúmať najvýznamnejšie príklady pre ich príslušnosti k jednej skupiny alebo iný. Napríklad sa predpokladá, že e - bežné číslo, tj pravdepodobnosť výskytu v jeho nahrávke rôznych obrázkoch sú rovnaké ... Pokiaľ ide o PI, potom jeho pomerne dlho predmetom vyšetrovania. Opatrenie iracionalita tiež volal hodnota udáva, ako dobre môže byť určitý počet približne určiť racionálnych čísel.

Algebraické a transcendentný

Ako už bolo spomenuté, iracionálne čísla podmienečne rozdelené do algebraický a transcendentný. Zvyčajne preto, že prísne vzaté, klasifikácia sa používa na rozdelenie množiny C.

Pod týmto označením sa skrýva komplexné čísla, ktoré zahŕňajú skutočné a reálne.

Takže algebraické volal hodnotu, ktorá je koreňom polynómu nie je identicky nulová. Napríklad druhá odmocnina 2 spadajú do tejto kategórie, pretože sa jedná o riešenie rovnice x ^2-2 = 0.

Všetky ostatné reálne čísla, ktoré nespĺňajú túto podmienku, sa nazývajú transcendentálne. Tento druh a sú najviac známe a už spomínané príklady - počet pí a prirodzený logaritmus základ e.

Zaujímavé je, že ani jedno, ani druhé boli pôvodne chovaní matematiky ako také, ich iracionalita a transcendencie bola preukázaná po mnoho rokov po ich objavení. Pre pi dôkaz bol poskytnutý v roku 1882 a zjednodušené v roku 1894, ktoré ukončilo na diskusiu o probléme porovnať kruh, ktorý trval 2500 rokov. Stále nie je celkom známy, takže moderné matematici mám prácu. Mimochodom, prvý rozumne presný výpočet tejto hodnoty mal Archimedes. Pred ním, všetky výpočty boli príliš približné.

U e (Eulerovo číslo, alebo Napier), bol nájdený dôkaz jeho transcendencie v roku 1873. Používa sa pri riešení logaritmických rovníc.

Medzi ďalšie príklady - sine hodnoty, cosinus a tangens pre všetky nenulové algebraických hodnôt.