Trojúholník rovnostranný: vlastnosti, atribúty, oblasť, obvod

V školskom systéme geometrie sa veľké množstvo času venuje štúdiu trojúhelníkov. Študenti vypočítajú uhly, vytvárajú bisektriká a výšku, zistia, aké sú čísla odlišné od seba a ako najjednoduchší je nájsť ich oblasť a obvod. Zdá sa, že to nie je užitočné v živote, ale niekedy je stále užitočné vedieť, napríklad, ako zistiť, že trojuholník je rovnostranný alebo tupý. Ako sa to dá urobiť?

Typy trojuholníkov

Tri body, ktoré nie sú na jednej línii, a segmenty, ktoré ich spájajú. Zdá sa, že tento údaj je najjednoduchší. Aké trojuholníky môžu existovať, ak majú len tri strany? V skutočnosti sú možnosti dosť veľké a niektoré z nich majú osobitnú pozornosť v priebehu školskej geometrie. Pravý trojuholník je rovnostranný, to znamená, že všetky jeho uhly a strany sú rovnaké. Má niekoľko pozoruhodných vlastností, o ktorých sa bude ďalej diskutovať.

V rovnovážnom stave sú len dve strany rovnaké a je tiež celkom zaujímavé. V obdĺžnikovom a tupý trojuholníku, ako možno ľahko uhádnuť, jeden z rohov je rovný alebo tupý. Môžu byť aj rovnoramenné.

Existuje aj špeciálny druh trojuholníka, nazývaný egyptský. Jeho strany sa rovnajú 3, 4 a 5 jednotiek. V tomto prípade je obdĺžnikový. Predpokladá sa, že takýto trojuholník aktívne používali egyptskí geodetri a architekti na budovanie pravých uhlov. Existuje názor, že s jeho pomocou boli postavené slávne pyramídy.

A napriek tomu všetky vrcholy trojuholníka môžu ležať na jednej priamke. V tomto prípade sa bude nazývať degeneráciou, zatiaľ čo všetky ostatné sú nedegenerované. Sú jedným z predmetov štúdia geometrie.

Trojuholník rovnostranný

Samozrejme, správne čísla sú vždy najzaujímavejšie. Vyzerajú dokonalejšie, elegantnejšie. Vzorce na výpočet ich charakteristík sú často jednoduchšie a kratšie ako pre bežné čísla. To platí aj pre trojuholníky. Nie je prekvapujúce, že pri štúdiu geometrie sa venuje veľa pozornosti: školáci sa učia rozlišovať správne postavy od ostatných a tiež hovoriť o niektorých svojich zaujímavých vlastnostiach.

Znaky a vlastnosti

Keďže nie je ťažké uhádnuť z názvu, každá strana rovnostranného trojuholníka sa rovná ostatným dvom. Okrem toho má niekoľko funkcií, pomocou ktorých môžete určiť, či je správne číslo alebo nie.

• Všetky jeho uhly sú rovnaké, ich veľkosť je 60 stupňov;
• Bisektory, výšky a mediány odobrané z každého vrcholu sa zhodujú;
• Pravý trojuholník má 3 osi symetrie, nemení sa pri otočení o 120 stupňov.
• Stred zapísaného kruhu je tiež stredom ohraničeného kruhu a priesečníkom stredov, bisektorov, výšok a stredných kolmok.

Ak je pozorované aspoň jedno z vyššie uvedených znakov, trojuholník je rovnostranný. Pre správne číslo sú všetky uvedené tvrdenia platné.

Všetky trojuholníky majú niekoľko pozoruhodných vlastností. Po prvé, stredná čiara, teda segment, ktorý rozdeľuje obe strany na polovicu a rovnobežne s treťou, sa rovná polovici základne. Po druhé, súčet všetkých uhlov tohto čísla je vždy 180 stupňov. Okrem toho je v trojúhelníkoch zaujímavá vzájomná súvislosť. Takže proti väčšej strane leží väčší uhol a naopak. Ale to samozrejme nemá žiadny vzťah k rovnostrannému trojuholníku, pretože všetky uhly sú rovnaké.

Vložené a ohraničené kruhy

Často v priebehu geometrie sa študenti tiež učia, ako môžu jednotlivé postavy interagovať. Najmä študujeme kruhy, ktoré sú napísané do polygónov alebo popísané v ich blízkosti. O čom to hovoríme?

Označená je kružnica, pre ktorú sú všetky strany polygonu tečné. Opísaný - ten, ktorý má body kontaktu so všetkými uhlami. Pre každý trojuholník je vždy možné vytvoriť prvý aj druhý kruh, ale iba jeden z nich. Dôkazy o týchto dvoch Vety sú uvedené v kurze geometrie školy.

Okrem výpočtu parametrov samotných trojuholníkov niektoré problémy zahŕňajú aj výpočet polomerov týchto kruhov. A vzory, na ktoré sa vzťahuje
Rovnostranný trojuholník je nasledovný:

R = 3/3;

R = a / 2/3;

Kde r je polomer vnorenej kružnice, R je polomer ohraničenej kružnice a a je dĺžka strany trojuholníka.

Výpočet výšky, obvodu a plochy

Hlavné parametre vypočítané študentmi počas štúdia geometrie zostávajú nezmenené takmer pre akýkoľvek údaj. Toto je obvod, plocha a výška. Pre jednoduchosť výpočtov existujú rôzne vzorce.

Takže obvod, teda dĺžka všetkých strán, sa vypočíta nasledujúcimi spôsobmi:

P = 3a = 3√ ∨3R = 6√ ∨3r, kde a je strana pravidelného trojuholníka, R je polomer ohraničenej kružnice, r je vnorený.

výška:

H = (√ 3 / 2) * a, kde a je dĺžka strany.

Napokon vzorec oblasti rovnostranného trojuholníka je odvodený od štandardu, ktorý je produktom polovice základne na jeho výške.

S = (√ 3 / 4) * a ² , kde a je dĺžka strany.

Túto hodnotu možno vypočítať aj pomocou parametrov ohraničenej alebo zapísanej kružnice. Existujú aj špeciálne vzorce pre toto:

S = 3√ √3r ² = (3√ ∨3 / 4) * R2, kde r a R sú polomery napísaných a ohraničených kružníc.

budova

Ďalší zaujímavý typ problému, vrátane trojuholníkov, súvisí s potrebou nakresliť určitý tvar pomocou minimálneho súboru
Nástroje: kompasy a pravítko bez rozdelenia.

Aby bolo možné vytvoriť správny trojuholník len pomocou týchto nástrojov, je potrebné vykonať niekoľko krokov.

1. Je potrebné nakresliť kruh s akýmkoľvek polomerom a vystrediť na ľubovoľnom bode A. Treba poznamenať.
2. Ďalej musíte nakresliť priamku cez tento bod.
3. Priesečníky kruhu a priamky musia byť označené ako B a C. Všetky konštrukcie musia byť vykonané s čo najvyššou presnosťou.
4. Ďalej musíme vytvoriť ďalší kruh s rovnakým polomerom a stredom v bode C alebo oblúkom s príslušnými parametrami. Priesečníky budú označené ako D a F.
5. Body B, F, D musia byť spojené segmentmi. Vytvorí sa rovnostranný trojuholník.

Riešenie takýchto problémov zvyčajne predstavuje problém pre školákov, ale táto zručnosť môže byť užitočná v každodennom živote.